许少华
2024年高考日益临近,关于高考命题的分析与预测也逐渐引起了高三师生的关注.年年岁岁花相似,岁岁年年都不同.对于考生也许今生只有一次,难,也好.易,也罢.最终都将“随风去”.对于教师就不一样,年年都要思考、年年都要预测“今朝折磨今朝受,明日旧事又袭扰”,无法改变、只有承受.还是让我们一起看看2024年高考在解析几何上可能怎样命题吧!
一、有关客观性试题的预测
1.围绕直线与圆的基本运算进行设计
对于直线与圆,单独直接命题的可能性不大,但与其他知识结合再加上直线与圆的基本运算倒是有可能.
例1(多选)瑞士数学家欧拉(LeonharEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.若已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则下列正确的是.( )
A.ΔABC重心的坐标为-13,23或-23,13
B.ΔABC垂心的坐标为(0,2)或(-2,0)
C. ΔABC顶点C的坐标为(2,0)或(0,-2)
D. 欧拉线将ΔABC分成的两部分的面积之比为45
解析BCD .的中点为(-2,2),的中垂线方程为y-2=-(x+2),即x+y=0,联立x+y=0,
x-y+2=0,解得x=-1,
y=1.∴ΔABC的外心为(-1,1),设C(m,n),由重心坐标公式得,三角形ABC的重心为-4+m3,4+n3,代入欧拉线方程得:-4+m3-4+n3+2=0,整理得:m-n-2=0……①
又外心为(-1,1),所以(m+1)2+(n-1)2=(-4+1)2+(0-1)2=10,整理得:m2+n2+2m-2n=8……②联立①②得:
m=2,n=0,或m=0,n=-2.所以顶点C的坐标是(2,0)或(0,-2).ΔABC重心的坐标为-23,43或-43,23.
由于OB⊥AC或OA⊥BC,所以垂心的坐标为M(0,2)或N(-2,0).
因为直线AB与欧拉线平行,所以两部分的面积之比是NC2AC2-NC2=1636-16=45或MC2AC2-MC2=1636-16=45.故选:BCD.
2.围绕直线与圆的基本技能进行设计
直线与圆的位置关系,涉及一些基本技能,围绕这些基本技能进行设计也有可能.
例2(多选)过直线l:2x+y=5上一点P作圆O:x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,则( )
A. 若直线AB//l,则|AB|=5
B. cos∠APB的最小值为35
C. 直线AB过定点(25,15)
D. 线段AB的中点D的轨迹长度为510π
解析设P(x0,y0),圆O:x2+y2=1的圆心O(0,0),半径为1,因为过点P作圆O:x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,所以A,B在以OP为直径的圆上,即A,B在(x-x02)2+(y-y02)2=x20+y202上,因为A,B是切点,所以A,B在圆x2+y2=1上,故A,B是两圆的交点,故两圆方程相减可得A,B所在的直线方程,化简可得AB:x0x+y0y=1,因为P在l上,所以2x0+y0=5,故直线AB:x0x+(5-2x0)y=1;
若AB//l,则-2=-x05-2x0,解得:x0=2,所以AB:2x+y-1=0,故圆心O到AB的距离d=15,所以AB=21-15=455≠5,故选项A错误;
由AB:x0x+(5-2x0)y=1,即x0(x-2y)+5y=1,则x-2y=0,
5y=1,解得:x=25,
y=15.所以AB过定点M(25,15),故选项C正确;
因为∠APB+∠AOB=π,所以cos∠APB=cos(π-∠AOB)=-cos∠AOB,由于AB过定点M(25,15),所以O到AB距离dmax=OM=55,记AB中点为Q,则OM≥OQ,则
cos∠APB=-cos∠AOB=-cos 2∠AOQ=-(2cos2∠AOQ-1)=1-2cos2∠AOQ=1-2(OQr)2≥1-2×15=35,故选项B正确;
因为D为线段AB的中点,且M在AB上,所以∠MDO=π2,所以D点轨迹为以OM为直径的圆,所以r=OM2=510,则周长为2πr=55π,故选项D错误.故选:BC.
点评本题主要考查直线与圆的位置关系中最值问题,考查圆的轨迹和公共弦问题,考查直线过定点问题等,属于较难题.
3.围绕圆锥曲线的定义或性质进行设计
圆锥曲线的性质每年高考一定会考,只是命题的角度与方式每年都不同,但有一点是不变的,那么就是创新、灵活,每年都一样.
例3双曲线C:x2-y2=4的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点,,ΔAF1F2,ΔBF1F2,ΔF1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3,则ΔO1O2O3的面积是( )
A. 62-8 B. 62-4
C. 8-42 D. 6-42
解析由题意如图所示:由双曲线C:x2-y2=4,知a2=b2=4,所以c2=a2+b2=8,
所以F2(22,0),|F1F2|=2c=42,
所以过F2作垂直于x轴的直线为x=22,
代入C中,解出A22,2,B22,-2,由题知ΔAF1F2,ΔBF1F2的内切圆的半径相等,且|AF1|=|BF1|,ΔAF1F2,ΔBF1F2的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P,设为r,在ΔAF1F2中,由等面积法得:
12(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)·r=12|F1F2|·|AF2|,由双曲线的定义可知:|AF1|-|AF2|=2a=4,
由|AF2|=2,所以|AF1|=6,所以126+2+42·r=12×42×2,解得:r=222+2=22×2-22=22-2,因为F1F2为ΔF1AB的∠AF1B的角平分线,
所以O3一定在F1F2上,即轴上,令圆O3半径为R,在ΔAF1B中,由等面积法得:
12(|AF1|+|BF1|+|AB|)·R=12|F1F2|·|AB|,又|AF1|=|BF1|=6,所以12×(6+6+4)·R=12×42×4,所以R=2,所以|PF2|=r=22-2,
|O3P|=|O3F2|-|PF2|=R-r=2-22-2=2-2,
所以S△O1O2O3=12|O1O2||O3P|=12×2r×|O3P|=r×|O3P|=22-2×2-2=62-8.故选A.
点评本题的最大特点是图形复杂,而求解又必须有图形,因此,细心和耐心制作图形是关键.
4.围绕圆锥曲线的基本技能进行设计
圆锥曲线是一个特殊内容,它的基础题也同其它章节的基础题一样“接地气”,给人很“亲切”的感觉,但难题就会运算与技巧共存了.
例4如图所示,已知F1,F2分别为双曲线x24-y212=1的左、右焦点,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,则∠AF2O的取值范围为 ;
记ΔAF1F2的内切圆O1的面积为S1,ΔBF1F2的内切圆O2的面积为S2,则S1+S2的取值范围是 .
解析设直线AB的倾斜角为α,在双曲线x24-y212=1中,a=2,b=23,则
c=a2+b2=4,故点F2(4,0),所以,直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为
x=my+4,设点A(x1,y1)、B(x2,y2),由x=my+4,
3x2-y2=12(3m2-1)y2+24my+36=0.
由题意可得3m2-1≠0,
Δ=242m2-4×36×(3m2-1)>0,解得m2≠13,由韦达定理可得y1+y2=-24m3m2-1,y1y2=363m2-1,x1+x2=m(y1+y2)+8=-24m23m2-1+8=-83m2-1>0,可得m2<13,x1x2=(my1+4)(my2+4)=m2y1y2+4m(y1+y2)+16=-12m2+163m2-1>0,可得m2<13,所以,-33 若点A在第一象限,则∠AF2O=π-α,此时∠AF2O∈(π3,2π3),若点A在第四象限,则∠AF2O=α,此时∠AF2O∈(π3,2π3),综上∠AF2O∈(π3,2π3). 设圆O1与 AF1、AF2、F1F2分别相切于点M、N、G, 过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点,可知直线AB的倾斜角取值范围为(π3,2π3),由切线长定理可得|AM|=|AN|,|F1M|=|F1G|,|F2G|=|F2N|,所以, |AF2|+|F1F2|-|AF1|=(|AN|+|F2N|)+(|F1G|+|F2G|)-(|AM|+|F1M|)=|F2N|+|F2G|=2|F2G|=2c-2a, 则|F2G|=c-a=2,所以点G的横坐标为4-2=2,故点O1的横坐标也为2.同理可知点O2的横坐标为2,故O1O2⊥x轴,故圆O1和圆O2均与x轴相切于G(2,0),圆O1和圆O2两圆外切,在△O1O2F2中,∠O1F2O2=∠O1F2G+∠O2F2G=12(∠AF2F1+∠BF2F1)=90°,又O1O2⊥F2G,∴∠GO1F2=∠F2O1O2,∠O1GF2=∠O1F2O2=90°,所以,ΔO1GF2∽ΔO1F2O2,所以,|O1G||O1F2|=|O1F2||O1O2|,则|O1F2|2=|O1G|·|O1O2|. 所以|F2G|2=|O1F2|2-|O1G|2=|O1G|·|O1O2|-|O1G|2=|O1G|·|O2G|. 设圆O1、O2的半径分别为 r1、r2,则(c-a)2=r1·r2,则r1·r2=4, 由直线AB的倾斜角取值范围为(π3,2π3),可知∠AF2F1的取值范围为(π3,2π3), 则∠O1F2F1=12∠AF2F1∈(π6,π3),故r1=|F2G|·tan∠O1F2F1=2tan∠O1F2F1∈(233,23), 则S1+S2=π(r21+r22)=π(r21+16r21),其中r1∈(233,23), 令f(x)=x+16x,其中x∈(43,12),则f(x)在(43,4)上单调递减,在(4,12)上单调递增, 因为f(4)=8,f(43)=f(12)=403,则当x∈(43,12)时,f(x)∈[8,403), 故S1+S2=π(r21+16r21)∈[8π,40π3).于是,答案为:(π3,2π3); 点评本题考查双曲线的定义,直线与双曲线的位置关系及其应用,以及对勾函数的应用、圆的性质,考查运算能力和推理能力,属于较难题. 二、有关主观性试题的预测 主观题每年一题,分数为12分.此题常规难度较大,其主要表现是运算复杂,有时可能有思路,但很难转化为解题现实“知道怎样做,就是做不出”.那么2024年呢?我们看看它可能进行设计几个角度. 1.结合轨迹方程,考查解几思想的运用 建系、设点、找等量关系,这是利用解几处理问题的基本思路,特别是“找关系”步骤,很多考生总是围绕着条件“转来转去”找不到. 例5如图, E,F,G,H 分别是矩形 ABCD 四边的中点,F(2,0),C(2,1),CS=λCF,OR=λOF. (1)求直线 ER 与直线 GS 交点 M 的轨迹方程. (2)过点I(1,0)任作直线与点 M 的轨迹交于 P,Q 两点,直线 HP 与直线 QF 的交点为 J ,直线 HQ 与直线 PF 的交点为 K ,求△IJK面积的最小值. 解析(1)由已知, R(2λ,0),S(2,1-λ)当 λ≠0 时,直线 ER 方程: 当 λ=0 时,交点 M(0,1) 符合上述方程,又交点 M 不可能为 (0,-1), 故所求的轨迹方程为 x24+y2=1(x≠0 且 y≠-1). (2)设 PQ 方程: Δ=16(m2+3)>0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4,则my1y2=32(y1+y2),的方程: 联立上述两方程得x+2x-2=(x1+2)y2(x2-2)y1=(my1+3)y2(my2-1)y1=32(y1+y2)+3y232(y1+y2)-y1=3 .∴x=4, 所以 J(4,yJ) ,其中 yJ=6y1x1+2,同理直线 HQ 与直线 PF 的交点 K(4,yK) ,其中 yK=6y2x2+2,|yJ-yK|=6y1x1+2-6y2x2+2=18(y2-y1)(my1+3)(my2+3)=2m2+3, SΔIJK=12×(4-1)·|yJ-yK|=3m2+3≥33,(当且仅当 m=0 时取等号), 故 ΔIJK 的面积最小值为 33 ,此时直线 PQ 的方程为 x=1. 点评本题考查与椭圆有关的轨迹方程的求解,直线和椭圆的位置关系以及椭圆中三角形面积问题,为较难题. 2.结合定点问题,考查合理的转化能力 过定点问题是解几中由来已久的问题,可以说是真正的“历史问题”,它灵活多变,虽然做过很多此类题,但遇到的又总是“新题”. 例6如图所示,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1且与x轴垂直的直线与圆O:x2+y2=a2交于点M(点M在x轴上方),与椭圆C交于点N(点N在x轴下方),且满足|MF1|=2|NF1|. (1)若ΔMNF2的面积为4+22,求椭圆C的标准方程. (2)过点M作椭圆C的切线,与直线NF2交于点Q(m,n),其中n<0,试判断以线段QF2为直径的圆是否经过点M,并说明理由. 解析(1)设F1(-c,0),则直线MF1的方程为x=-c,与x2+y2=a2联立得:M(-c,b), 由MF1=2NF1得:N-c,-22b,∵N在椭圆C上,∴c2a2+12b2b2=1,解得:a=2c,∴b2=a2-c2=c2,即b=c,∴|MN|=b+22b=2+22b=2+22c. 又|F1F2|=2c, ∴S△MNF2=12|MN|·|F1F2|=2+24c·2c=4+224c2=4+22,解得:c=2, ∴a=22,b=2,∴椭圆C的标准方程为:x28+y24=1. (2)由(1)知:椭圆C的方程为:x22b2+y2b2=1,M(-b,b),设切线MQ的方程为:y-b=k(x+b),由y-b=k(x+b), x22b2+y2b2=1,得:(1+2k2)x2+4k(1+k)bx+2k(k+2)b2=0, ∴Δ=16k2(1+k)2b2-8k(1+2k2)(k+2)b2=0,解得:k=0或k=2, 当k=0时,不满足n<0,不合题意, 又kMF2=b-0-b-b=-12,∴k·kMF2=-1,即MQ⊥MF2, ∴以线段QF2为直径的圆经过点M. 点评本题考查椭圆的概念及标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查圆锥曲线中的综合问题,属于较为基础题. 3.结合范围问题,考查与函数、不等式的综合应用能力 范围问题或是最值问题往往考查的是综合应用能力,除了圆锥曲线特有复杂运算之外,很可能还会与其他知识的特殊技巧相结合. 例7设椭圆C:x29+y25=1长轴的左,右顶点分别为A,B. (1)若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0), 求|k1|+|k2|的最小值; (2)已知过点D(0,-3)的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点,直线AM,AN分别交y轴于点S、T,记DS=λDO,DT=μDO(O为坐标原点),当直线l的倾斜角θ为锐角时,求λ+μ的取值范围. 解析(1)设点P(x0,y0),由对称性知Q(x0,-y0)不妨令y0>0,由已知A(-3,0),B(3,0),则k1=y0x0+3,k2=-y0x0-3,显然有-3 则|k1|+|k2|=y03+x0+y03-x0=6y09-x20,由x209+y205=19-x20=9y205,则|k1|+|k2|=103y0,因为0 (2)当直线l的倾斜角θ为锐角时设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l:y=kx-3(k>0),由y=kx-3, x29+y25=1,得(5+9k2)x2-54kx+36=0, 从而Δ=(54k)2-4×36×(5+9k2)>0,又k>0,解得k>23,所以x1+x2=54k9k2+5,x1x2=369k2+5,又直线AM的方程是:y=y1x1+3(x+3),令x=0,解得y=3y1x1+3,所以点S为(0,3y1x1+3); 所以DS=(0,3y1x1+3+3),DT=(0,3y2x2+3+3),DO=(0,3), 因为DS=λDO,DT=μDO,所以3y1x1+3+3=3λ,3y2x2+3+3=3μ, 所以λ+μ=y1x1+3+y2x2+3+2=kx1-3x1+3+kx2-3x2+3+2=2kx1x2+3(k-1)(x1+x2)-18x1x2+3(x1+x2)+9+2 =2k·369k2+5+3(k-1)(54k9k2+5)-18369k2+5+3×(54k9k2+5)+9+2=-109×(k+1)(k+1)2+2=-109×1k+1+2, ∵k>23,∴λ+μ∈(43,2),综上,所以λ+μ的范围是(43,2). 点评本题主要考查椭圆的简单性质及标准方程,直线与椭圆的位置关系,属于较难题. 所以QC·QD=54QA·QB.所以存在常数λ=54,使得QC·QD=λQA·QB. 点评本题考查椭圆的方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量的数量积运算、参数的计算,考查计算能力,属难题. 4.结合存在性问题,考查分析、探索能力 探索能力与创新能力是考生的综合能力的集中体现,存在性问题作为考查此种能力的重要题型,出现在高考试卷是正常的,也是完全有可能的,因此,要引起我们的足够重视. 例8已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为62,且过点P42,22. (1)求双曲线C的方程. (2)过F1的两条相互垂直的直线分别交双曲线于A,B和C,D,M,N分别为AB,CD的中点,连接MN,过坐标原点O作MN的垂线,垂足为H,是否存在定点G,使得|GH|为定值,若存在,求此定点G.若不存在,请说明理由. 解析(1)由题可知,e=ca=622c2=3a2①又因为P42,22在双曲线C:x2a2-y2b2=1上,即32a2-8b2=1②又因为c2=a2+b2③,联立①②③,解得a2=16,b2=8,c2=24,所以,双曲线C的方程是x216-y28=1. (2)存在定点G-26,0,使得|GH|为定值,理由如下: 由题意可知,若直线AB和CD其中一条没有斜率,则H点为(0,0),直线 MN的方程为y=0,当直线AB和CD都有斜率时,因为点F1-26,0,设直线AB的方程为:y=kx+26设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),联立方程组y=kx+26, x216-y28=1,得:(1-2k2)x2-86k2x-16(3k2+1)=0,易得Δ>0,所以xA+xB=86k21-2k2,xAxB=-16(3k2+1)1-2k2,故xM=46k21-2k2,yM=k(46k21-2k2+26). 设直线CD的方程为:y=-1kx+26设C(xC,yC),D(xD,yD),N(xN,yN)同理可得xC+xD=86k2-2,xCxD=-16(3+k2)k2-2,故xN=46k2-2,yN=-1k46k2-2+26所以kMN=yM-yNxM-xN=k(46k21-2k2+26)+1k(46k2-2+26)46k21-2k2-46k2-2=-k2(k2-1) . 所以直线MN的方程为y-k(46k21-2k2+26)=-k2(k2-1)(x-46k21-2k2)化简得:y=-k2(k2-1)(x+46),可知直线MN过定点P-46,0又因为OH⊥MN,所以点H的运动轨迹是以点-26,0为圆心,以|OP|=46为直径的圆,所以存在定点G-26,0,使得|GH|为定值26 . 点评本题考查双曲线的方程和性质、直线与双曲线的位置关系、圆锥曲线中的定点和定值问题,以及化简整理的运算能力,属于难题. 好了,关于解析几何的命题预测就谈这么多了,希望对你提高高考分数能起作用. 责任编辑 徐国坚
[8π,40π3).
y=12λx-1,直线 GS 方程:
y=-λ2x+1,联立上述两方程消去 λ 得:
x24+y2=1,
x=my+1 ,代入 x2+4y2-4=0 ,得 (m2+4)y2+2my-3=0,
y=y1x1+2(x+2),QF 方程:
y=y2x2-2(x-2),
直线AN的方程是:y=y2x2+3(x+3),同理点T为(0,3y2x2+3),